EJERCICIOS DE METODOS NUMERICOS DIRECTOS E INDIRECTOS
1) Resolver la siguiente ecuación con los métodos de Jacobi y Gauss Seidel en Mathcad:
5x + 3y - z = 12
-x + 9y + 5z = 6
2x + 3y - 7z = 4Solución:Variable x
Variable y
Variable z
Programa :
Valores Iniciales:
x:=1 y:=1 z:=1
Siendo los resultados:
Con el método de Gauss Seidel:
El resultado será:
En el eje x:
En el eje y:
En el eje z:
2) Resolver en Mathcad:
A ) Sin modificar las ecuaciones indique si existe solución considerando xo = 0, yo = 0)
B ) Con los mismos valores iniciales y modificando las ecuaciones resolver el problema
Solución:
Usando el programa de Gauss Seidel:
Siendo los Valores iniciales:
x:=0 y:=0
El resultado será:
En “x” y en “y” el sistema no converge:
B ) Modificando las ecuaciones
Usando el programa de Gauss Seidel:
En el eje “x” y “y”
Existen dos métodos:
Método Directo:
- Ax =b
- x = A\ b
- Tamaño moderado
- Modifican la estructura
- Error de redondeo
Método Iterativo:
- x = Cx + d
- x(k+1) = Cx(k) + d
- Tamaño grande
- Conservan los ceros
- Error de truncamiento
A continuación veremos los métodos estudiados en clase.
Métodos Iterativos de sistemas Lineales
1. Método de Jacobi:Forma “algebraica”Para i = 1, 2, ..., n
El
método de Jacobi se denomina también de los desplazamientos simultáneos
pues cada ecuación se cambia simultáneamente teniendo en cuenta los
índices de las componentes del vector que se ha calculado
precedentemente:
Forma “matricial”
En general para un sistema de n x n siendo A la matriz de un sistema de forma:
Vamos a suponer que A fuera reordenada de modo que todos sus elementos de la diagonal sean nulos:
Si
consideramos que el lado derecho del sistema como los elementos de un
nuevo paso de interacción (k+1) de los elementos del lado derecho como
elementos del paso anterior (k), tendremos:
Ejemplo de método Jacobi:Resolver la siguiente ecuación:
3x + y – z = 11
x + 7y -2z = 10
x + 3y - 9z= 12
Resolviendo:
X k+1 = (11-yk+zk)/3 => F(y,z)
y k+1 = (10-xk+2zk)/7 => G(x,z)
z k+1 = (-12+xk+3yk)/9 => H(x,y)
Asumiendo que los valores iniciales son x0 = 0; y0 = 0; z0 = 0 se reemplaza:
x1 = (11- y0 + z0) /3 = 11/3
y1 = (10- x0 + 2z0) /7 = 10/7
z1 = (x0+ 3y0 - 12)/9 = 4/3
2. Método de Gauss-Seidel
La iteración de Gauss-Seidel es una mejora de del método anterior, para lo cual requiere de un menor número de iteraciones.
Forma “algebraica”
Forma “matricial”
Siendo de la forma:
Una condición suficiente de convergencia:
entonces el proceso iterativo
a partir de x(0) cualquiera, es convergente hacia la solución de x = B x + c, que existe y es única.
Sea cualquiera de las normas, cuando hay convergencia, debe verificarse:
Nota:Obsérvese
que en el método de Gauss-Seidel los valores actualizados de xi
sustituyen de inmediato a los valores anteriores, mientras que en el
método de Jacobi todas las componentes nuevas del vector se calculan
antes de llevar a cabo la sustitución.
Por contra, en el método
de Gauss-Seidel los cálculos deben llevarse a cabo por orden, ya que el
nuevo valor xi depende de los valores actualizados de x1, x2, ..., xi-1.
Cuando consideramos ecuaciones lineales cuyas soluciones son
números racionales, reales o complejos o más generalmente un cuerpo K ,
la solución puede encontrarse mediante
Regla de Cramer.
Para sistemas de muchas ecuaciones la regla de Cramer puede ser
computacional mente más costosa y suelen usarse otros métodos más
"económicos" en número de operaciones como la
eliminación de Gauss-Jordan y la
descomposición de Cholesky. Existen también métodos indirectos (basados en iteraciones) como el
método de Gauss-Seidel.
Si el cuerpo es
infinito (como es el caso de los números
reales o
complejos), entonces solo puede darse una de las tres siguientes situaciones:
- el sistema no tiene solución (en dicho caso decimos que el sistema está sobredeterminado o que es incompatible) .
- el sistema tiene una única solución (el sistema es compatible determinado)
- el sistema tiene un número infinito de soluciones (el sistema es compatible indeterminado).
Un
sistema de la forma Ax = 0 se le llama sistema homogéneo. El conjunto
de todas las soluciones de este tipo de sistema se le llama
núcleo de la matriz y se escribe como Nuc A.
Se han diseñado algoritmos alternativos mucho más eficientes a la
eliminación de Gauss-Jordan para una gran cantidad de casos específicos. La mayoría de estos algoritmos mejorados tienen una complejidad computacional de
O(n²). Algunos de los métodos más usados son:
Solución de sistemas lineales en un anillo
Los métodos para resolver el sistema (
1)
sobre un anillo son muy diferentes a los considerados anteriormente. De
hecho la mayoría de métodos usados en cuerpos, como la regla de Cramer,
son inaplicables en anillos debido a que no existen inversos
multiplicativos.
La existencia de solución del sistema (
1) sobre los
enteros requiere varias condiciones:
1. Para cada i
es divisor de bi .
2.
Si la condición anterior se cumple para un determinado i existe un
conunto de enteros formado por el conjunto de enteros que satisface la
i-ésima ecuación, y existirá solución si la intersección
.
1. IntroducciónEn
matemática y
álgebra lineal, un sistema lineal de ecuaciones es un conjunto de
ecuaciones lineales sobre un
cuerpo o un
anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:
La
cuestión consiste en encontrar los valores desconocidos de las
variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.El problema de
los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la
matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en
procesamiento digital de señales, estimación, predicción y más generalmente en
programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de
análisis numérico.
2. Descripción En general, un sistema con m ecuaciones lineales n incógnitas puede ser escrito como:
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
:
:
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm,
donde
x1, ... ,xn son las incógnitas y los números aij son los coeficientes
del sistema. Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes
con notación matricial:
Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:
Ax = b,
Donde A es una
matriz
m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector
columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se
aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el
cuerpo del que provengan los coeficientes.
Sistemas lineales reales
Representación gráfica
La intersección de dos
planos no paralelos es una
rectaUn sistema con incógnitas se puede representar en el
n-espacio correspondiente.
En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el
plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una
recta, si es lineal, o por una
curva, si no lo es. La solución será el
punto (o
línea)
donde intersecten todas las rectas y curvas que representan a las
ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que intersecten al mismo
tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo
mismo, no tiene solución.
En el caso de un sistema con 3 incógnitas,
el universo será el espacio tridimensional, siendo cada ecuación un
plano dentro del mismo. Si todos los planos intersectan en un único
punto, las coordenadas de éste serán la solución al sistema. Si, por el
contrario, la intersección de todos ellos es una recta o incluso un
plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán las coordenadas
de los puntos que forman dicha línea o superficie.
Para sistemas de 4
ó más incógnitas, la representación gráfica no es intuitiva para el ser
humano, por lo que dichos problemas no suelen enfocarse desde esta
óptica.
Un sistema de ecuaciones, por las soluciones que se pueden
presentar, se puede diferenciar los siguientes casos: compatible si
tiene solución e incompatible si no la tiene, de ser compatible puede
tener un número finito de soluciones, compatible - determinado, o
infinitas soluciones, compatible - indeterminado. Quedando así la
clasificación:
Si se representa gráficamente, la primera ecuación se corresponde con una
circunferencia de
radio y centrada en el origen de coordenadas, mientras que la segunda ecuación se corresponde con una
recta que pasa por el origen y cuya
pendiente es -0,5. Ambas intersectan en dos
puntos
únicos, por lo que el sistema es en el caso concreto de los sistemas
lineales, los sistemas compatibles determinados son aquellos en los que
todas sus ecuaciones son
linealmente independientes. Los mísmos tienen una única solución, la cual se encuentra geométricamente en el punto en donde las rectas se cruzan.
Tipos de sistemas lineales:
1. Compatible indeterminadoUn sistema es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:
Tanto
la primera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya
pendiente es -0.5 y que pasa por el punto (0,0) , por lo que ambas
intersectan en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible
por haber solución o intersección entre las rectas, pero es
indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos.
En este tipo de sistemas, la solución genérica consiste en expresar una o más variables como
función matemática del resto.
En
los sistemas lineales compatibles indeterminados, al menos una de sus
ecuaciones se puede hallar como combinación lineal del resto, es decir,
es linealmente dependiente.
2. Incompatible De un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución. Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:
Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente, Al ser
paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.
1. SustituciónEl
método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones
cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente,
para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.
En
caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser
sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en
la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una
ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir
aplicando este método reiteradamente.Por ejemplo, supongamos que
queremos resolver por sustitución este sistema:
En
la primera ecuación, seleccionamos la incógnita Y por ser la de menor
coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la
despejamos, obteniendo la siguiente ecuación
El
siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita Y en la
otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita
sea la X.
Al
resolver la ecuación obtenemos el resultado x=5 , y si ahora
sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones
originales obtendremos y=7 , con lo que el sistema queda ya resuelto.
2. IgualaciónEl
método de igualación se puede entender como un caso particular del
método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos
ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de
ambas ecuaciones.Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el
método de sustitución, si despejamos la incógnita en ambas ecuaciones
nos queda de la siguiente manera:
Como
se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda,
por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales
entre sí.
Llegados
a este punto, la ecuación resultante es resoluble y podemos obtener el
valor de la incógnita x, y a partir de aquí, sustituyendo dicho valor en
una de las ecuaciones originales, obtener el valor de la y , que además
ya se encuentra despejada.
3. ReducciónEste
método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales,
siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no
lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e
incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente,
mediante
productos),
de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita
aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se
suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de
dicha incógnita , obteniendo así una ecuación con una sola incógnita,
donde el método de resolución es simple.
Por ejemplo, en el sistema:
no
tenemos más que multiplicar la primera ecuación por -2 para poder
cancelar la incógnita Y. Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:
Si
sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una
nueva ecuación donde la incógnita Y ha sido reducida y que, en este
caso, nos da directamente el valor de la incógnita X:
